Question

设f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤8．
（2）若f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入，利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论各段上f（x）≤8的解，最后综合讨论结果，可得不等式f（x）≤8的解集．
（2）利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，结合一次函数的单调性可分析出函数的f（x）的单调性，进而求出函数f（x）的最小值，得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x|+2|x-1|=

2-3x，x＜0 2-x，0≤x≤1 3x-2，x＞1

当x＜0时，由2-3x≤8得，-2≤x＜0
当0≤x≤1时，由2-x≤8得，0≤x≤1
当x＞1时，由3x-2≤8得，1＜x≤

10

3

综上所述不等式f（x）≤8的解集为[-2，

10

3

]
（2）∵f（x）=|x|+2|x-a|=

2a-3x，x＜0 2a-x，0≤x≤a 3x-2a，x＞a

则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∴当x=a时，f（x）取最小值a
若f（x）≥6恒成立，则a≥6
∴实数a的取值范围为[6，+∞）．

点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值不等式，其中利用零点分段法，将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论是解答此类问题的通法．