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    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
    （1）因为f（x）=a2x2，所以f′（x）=2a2x，令f′（x）=2a2x=1
    得：x=
    1
    2a2
    ，此时y=
    1
    4a2
    ，
    则点(
    1
    2a2
    ，
    1
    4a2
    )    到直线x-y-3=0的距离为2
    		2
    ，
    即2
    		2
    =
    |
    1
    2a2
    -
    1
    4a2
    -3|
    		2
    ，解之得a=
    		7
    14
    ．
    （2）不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
    等价于（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，
    令h（x）=（1-a2）x2-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a2＜0（a＞0），
    所以函数h（x）=（1-a2）x2-2x+1的一个零点在区间（0，1），
    则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解
    故
    h(-2)＞0
    h(-3)≤0
    解之得
    4
    3
    ≤a＜
    3
    2
    ．
    （3）设F(x)=f(x)-g(x)=
    1
    2
    x2-elnx    ，
    则F′(x)=x-
    e
    x
    =
    x2-e
    x
    =
    (x-
    		e
    )(x+
    		e
    )
    x
    ．
    所以当0＜x＜
    		e
    时，F′（x）＜0；当x＞
    		e
    时，F′（x）＞0．
    因此x=
    		e
    时，F（x）取得最小值0，
    则f（x）与g（x）的图象在x=
    		e
    处有公共点(
    		e
    ，
    e
    2
    )    ．
    设f（x）与g（x）存在“分界线”，
    方程为y-
    e
    2
    =k(x-
    		e
    )    ，即y=kx+
    e
    2
    -k
    		e
    ，
    由f(x)≥kx+
    e
    2
    -k
    		e
    在x∈R恒成立，
    则x2-2kx-e+2k
    		e
    ≥0    在x∈R恒成立．
    所以△=4k2-4(2k
    		e
    -e)=4k2-8k
    		e
    +4e=4(k-
    		e
    )2≤0    成立，
    因此k=
    		e
    ．
    下面证明g(x)≤
    		e
    x-
    e
    2
    (x＞0)    恒成立．
    设G(x)=elnx-x
    		e
    +
    e
    2
    ，则G′(x)=
    e
    x
    -
    		e
    =
    		e
    (
    		e
    -x)
    x
    ．
    所以当0＜x＜
    		e
    时，G′（x）＞0；当x＞
    		e
    时，G′（x）＜0．
    因此x=
    		e
    时G（x）取得最大值0，则f(x)≤
    		e
    x-
    e
    2
    (x＞0)    成立．
    故所求“分界线”方程为：y=
    		e
    x-
    e
    2
    ．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=x-aex-1．
    （Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
    （Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
    （Ⅲ）对任意n的个正整数a1，a2，…an记A=
    a1+a2+…+an
    n

    （1）求证：
    ai
    A
    ≤e
    ai
    A
    -1    （i=1，2，3…n）（2）求证：A≥
    na1a2…an
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
    q
    q-1
    (an-1)    （q是常数且q＞0，q≠1，）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）当q=
    1
    3
    时，试证明a1+a2+…+an＜
    1
    2
    ；
    （3）设函数f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整数m，使
    1
    b1
    +
    1
    b2
    +…+
    1
    bn
    ≥
    m
    3
    对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且f（1）=-
    a2
    ．
    （1）求证：函数f（x）有两个零点．
    （2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的范围．
    （3）求证：函数f（x）的零点x1，x2至少有一个在区间（0，2）内．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|（x∈R）四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有（　　）个
    ①f（x）是偶函数；
    ②f（x）在（0，+∞）单调递增；
    ③不等式f（x）＜2010×2011的解集为∅；
    ④关于实数a的方程f（a2-3a+2）=f（a-1）有无数解．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•杭州一模）设函数f（x）=
    x2
    ax-2
    （a∈N*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-
    1
    m
    成立．
    （1）求函数f（x）的表达式；
    （2）设{an}是各项非零的数列，若f(
    1
    an
    )=
    1
    4(a1+a2+…+an)
    对任意n∈N*成立，求数列{an}的一个通项公式；
    （3）在（2）的条件下，数列{an}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明．

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