Question

（2006•杭州一模）设函数f（x）=

x2

ax-2

（a∈N^*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-

1

m

成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设{a_n}是各项非零的数列，若f(

1

an

)=

1

4(a1+a2+…+an)

对任意n∈N^*成立，求数列{a_n}的一个通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列{a_n}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）利用f（m）=m，f（-m）＜-

1

m

关系及（a∈N^*）构造一个不等式，求出a的值，即求出函数f（x）的表达式．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根据（1）求得f（x）的表达式，代入f(

1

an

)=

1

4(a1+a2+…+an)

求出递推式s_n与a_n的关系，
再利用an=

s1 sn-sn-1

求出数列{a_n}的一个通项公式；
（3）根据（2）的条件数列{a_n}的通项公式不止一个，给出实例即证．

解答：解：（1）∵f（x）=

x2

ax-2

（a∈N^*），
∴f（m）=

m2

am-2

=m，且m≠0，
∴（a-1）m=2，显然a≠1，所以m=

2

a-1

①；
又f（-m）=

m2

-am-2

＜-

1

m

，即

m3

am+2

＞1，
由（a，m∈N^*）得：m³＞am+2②，
把①代入②，得

8

(a-1)3

＞

2a

a-1

+2；
整理，得

8

(a-1)3

-

2

a-1

-4＞0，
根据a≠1，a∈N^*，取a=2，满足上式，当a≥3时，

8

(a-1)3

-

2

a-1

-4＜0，
故a=2，此时m=2；
所以，函数f（x）=

x2

2x-2

．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根据（1）知f（x）=

x2

2x-2

，则f(

1

an

)=

1

2an-2an2

，
代入f(

1

an

)=

1

4(a1+a2+…+an)

，
得2a_n-2a_n²=4（a₁+a₂+…+a_n）=4s_n，即a_n-a_n²=2s_n，
∴a_n-1-a_n-1²=2s_n-1（n≥2），
∴（a_n-a_n²）-（a_n-1-a_n-1²）=2a_n，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1=-1（n≥2），
又当n=1时，a₁-a₁²=2a₁，
∴a₁=0（舍去），或a₁=-1；
由a_n-a_n-1=-1，得{a_n}是等差数列，通项a_n=-n．
（3）由（2）的条件知，数列{a_n}的通项公式不止一个，
例如由a_n+a_n-1=0，且a₁=-1，可得a_n=（-1）ⁿ（n为奇数时）；
所以，数列{a_n}不是惟一确定的．

点评：本题考查了函数与数列的综合应用，也考查了函数与不等式的应用，数列递推公式的应用；解题时要细心分析，并适当的猜想，仔细解答．