Question

设函数f（x）=x-ae^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）对任意n的个正整数a₁，a₂，…a_n记A=

a1+a2+…+an

n

（1）求证：

ai

A

≤e

ai

A

-1（i=1，2，3…n）（2）求证：A≥

n	a1a2…an

．

Answer 1

分析：（I）根据已知中的函数的解析式，我们易求出函数的导函数的解析式，分类讨论导函数的符号，即可得到答案．
（II）根据（I）的结论我们易当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，当a＞0时，仅须函数的最大值小于0即可，由此构造关于a的不等式即可得到答案．
（III）（1）由（II）的结论我们可以得到f（x）=x-e^x-1≤0恒成立，故

ai

A

≤e

ai

A

-1（i=1，2，3…n）成立；（2）结合（1）的结论，我们分别取i=1，2，3…n，i=1，2，3…n，得到n个不等式，根据不等式的性质相乘后，即可得到结论．

解答：解：（I）∵函数f（x）=x-ae^x-1．
∴函数f′（x）=1-ae^x-1．
当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上是增函数
当a＞0时，令f′（x）=0得x=1-lna，则f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数，在区间（1-lna，+∞）上是减函数
综上可知：当a≤0时，f（x）在R上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数，在区间（1-lna，+∞）上是减函数．
（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立
当a＞0时，f（x）在点x=1-lna时取最大值-lna，
令-lna≤0，则a≥1
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围为[1，+∞）
（III）（1）由（II）知：当a=1时恒有f（x）=x-e^x-1≤0成立
即x≤e^x-1
∴

ai

A

≤e

ai

A

-1
（2）由（1）知：

a1

A

≤e

a1

A

-1，

a2

A

≤e

a2

A

-1，…，

an

A

≤e

an

A

-1
把以上n个式子相乘得

a1•a2•…•an

An

≤e

a1+a2+…+an

A

-n=1
∴Aⁿ≥a₁•a₂•_…•a_n
故A≥

n	a1•a2•…•an

点评：本题考查的知识点是利用导数求函数的单调性，函数单调性的性质，不等式的性质，其中根据已知条件中函数的解析式，求出导函数的解析式，并分析导函数的符号是解答本题的关键．