Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足Sn=

q

q-1

(an-1)（q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当q=

1

3

时，试证明a₁+a₂+…+a_n＜

1

2

；
（3）设函数f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整数m，使

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≥

m

3

对任意n∈N^*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1=

q

q-1

(an-1)-

q

q-1

（a_n-1-1），知

an

an-1

=q，由S₁=a₁=

q

q-1

（a₁-1）得a₁=q，由此知a_n=q•q^n-1=qⁿ．
（2）a1+a2+an=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

，由此能证明出a₁+a₂+…+a_n＜

1

2

．
（3）b_n=log_qa₁+log_qa₂+log_qa_n=log_q（a₁a₂a_n）=logqq1+2+n=

n(n+1)

2

，

1

b1

+

1

b2

++

1

bn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)，所以m≤6(1-

1

n+1

)，由此能求出m的值．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

q

q-1

(an-1)-

q

q-1

（a_n-1-1）（2分）
?

an

an-1

=q（2分）
又由S₁=a₁=

q

q-1

（a₁-1）得a₁=q（3分）
∴数列a_n是首项a₁=q、公比为q的等比数列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ（5分）
（2）a1+a2+an=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

（7分）
=

1

2

[1-(

1

3

)n]＜

1

2

（9分）

（3）b_n=log_qa₁+log_qa₂+log_qa_n=log_q（a₁a₂a_n）=logqq1+2+n=

n(n+1)

2

（9分）
∴

1

b1

+

1

b2

++

1

bn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)（11分）
∴2(1-

1

n+1

)≥

m

3

，即m≤6(1-

1

n+1

)
∵n=1时[6(1-

1

n+1

)]min=3，
∴m≤3（14分）
∵m是正整数，
∴m的值为1，2，3．（16分）

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要注意等比数列性质的灵活运用．