Question

19、已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，且满足b₁=a₁，2b₃=b₄
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用数列的前n项和的公式，先求得a₁，后看≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求得数列的通项公式，设出等比数列{b_n}的公比，利用2b₃=b₄求得q，利用b₁=a₁求得首项，则等比数列的通项公式可求．
（2）数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，然后利用错位相减法求得T_n．

解答：解：（1）由已知S_n=n²，得a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
所以a_n=2n-1（n∈N^*）
由已知，b₁=a₁=1
设等比数列{b_n}的公比为q，由2b₃=b₄得2q²=q³，所以q=2
所以b_n=2^n-1
（2）设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1×1+3×2+5×2²++（2n-1）•2^n-1，2T_n=1×2+3×2²+5×2³++（2n-1）•2ⁿ，
两式相减得-T_n=1×1+2×2+2×2²++2×2^n-1-（2n-1）•2ⁿ（10分）=1+2（2+2²++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+4（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ（11分）=-（2n-3）•2ⁿ-3
所以T_n=（2n-3）2ⁿ+3

点评：本题主要考查了等差数列的性质和等比数列的性质．当数列是由等差数列和等比数列的积构成时，可求得利用错位相减法求和．