Question

（08年南昌市三校联考文）如图，的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知，

，内切圆圆心，设点A的轨迹为L，

①求L的方程；

②过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于C的定点

Q，使，对任意的直线m都成立？若存在，试求出点Q的坐标，

若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

解析：（1）由题知：，，

        

         ，，      

        

根据双曲线的定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去E（1，0），故L的方程为（x>1）

（2）设点Q（x₀，0）、M（x₁，y）、W（x₂、y₂）

由（1）可知C（）

于是（1）当直线轴时，点在x轴任何一点处，都能够使得成立

（2）当直线MN不与x轴垂直时，设直线MN：

         由消去y，得

        

则             

        

        

        

        

所以，要使成立

要使成立

即         即

即()=

        

即          即

所以，当点Q的坐标为时，能够使得成立