Question

球O的截面BCD把球面面积分为1∶3两部分,BC是截面圆的直径,D是圆周上一点,CA是球O的直径.

(1)求证:平面ABD⊥平面ADC;

(2)如果球半径为13,D分BC为两部分,且BD∶DC=1∶2,求AC与BD所成的角和距离;

(3)如果BD∶DC=3∶2,求二面角B-AC-D的大小.

Answer 1

思路解析:先作出球的轴截面图形、再画出截面BCD.观察图形、可知球半径、截面圆半径和弦心距(两心距)构成了一个直角三角形、在这个三角形中解决此题.

解:(1)把球的直观图画出来(如图)即可从球中看出,A—BCD为一棱锥、BC为截面圆直径.

∴BD⊥CD.

CA是球O的直径,D为球面上一点、

∴ADC在一球大圆上.

∴CD⊥AD.

∴CD⊥平面ABD.又CD平面ACD、

∴平面ABD⊥平面ADC.

(2)如图,过C作CG∥BD交球面于G点,

则AC与CG所夹的锐角(或直角)就是异面直线AC与BD所成的角.连结AG、则∠AGC=90°.

∵∶=1∶2,∴∠DBC=60°,BD∥CG.∴∠BCG=60°.

又平面BDC把球面分成1∶3两部分,

∴2πRh∶4πR²=1∶4,h=R.

∴∠ACB=30°.

由cos∠ACG=cos∠ACB·cos∠BCG,cos∠ACG=∴∠ACG=arccos.

∵BD∥CG,则BD∥平面AGC.

∴AC与BD的距离就是BD与平面AGC的距离.

∵平面AGC⊥平面ABG,交线是AG,过B作BM⊥AG于M,则BM就是要求的BD与AC的距离.

AB=2(R-h)=2(R-R)=R,

CD=BCsin60°=2Rsin60°·sin60°=R,

AG=

∴BM=即AC与BD的距离就是BM=3,

AC与BD所成的角为∠ACG=arccos.

(3)过B作BE⊥AD于E,BF⊥AC于F,连结EF,

∵平面ABD⊥平面ADC,由三垂线定理可知,

∠BFE就是二面角B-AC-D的平面角,

BE=BM,BF=

由BC²=BD²+CD²,BD∶DC=∶2、

得BD=

sin∠BFE=∴∠BFE=60°,即二面角B-AC-D的大小为60°.