Question

19．已知二次函数f（x）=x²-2x+2．
（1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最大值、最小值；
（2）当x∈[t，t+1]时，t∈R，求f（x）的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）=x²-2x+2的图象和性质，分析当x∈[0，4]时，函数的单调性，进而可得f（x）的最大值、最小值；
（2）先将函数f（x）进行配方，得到对称轴，然后讨论对称轴与区间[t，t+1]的位置关系，从而得到最小值和最大值．、

解答 解：二次函数f（x）=x²-2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
（1）当x∈[0，4]时，
函数在[0，1]上为减函数，在[1，4]上为增函数，
故当x=1时，函数取最小值1，当x=4时，函数取最大值10，
（2）当t＞1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，
∴当x=t时，函数取最小值t²-2t+2，
当x=t+1时，函数取最大值t²+1，
当$\frac{1}{2}$≤t≤1时，
当x=1时，函数取最小值1，
当x=t+1时，函数取最大值t²+1，
当0≤t$＜\frac{1}{2}$时，
当x=1时，函数取最小值1，
当x=t时，函数取最大值t²-2t+2，
当t+1＜1，即t＜0时，f（x）在区间[t，t+1]上是减函数，
当x=t时，函数取最大值t²-2t+2，
当x=t+1时，函数取最小值t²+1，

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．