Question

11．定义：[x]表示不超过x的最大整数，已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-[lo{g}_{2}（x+1）]，x∈[0，1）}\\{2-ax，x∈[1，2]}\end{array}\right.$．则函数g（x）=f（x）-|log₅x|共有零点5个．

Answer 1

分析 由新定义，化简f（x）可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈[0，1）}\\{2-x，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，由f（x+1）=-f（x）可得函数的周期为2，画出函数y=f（x）和y=|log₅x|的图象，通过图象观察即可得到零点个数．

解答 解：当x∈[0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-[lo{g}_{2}（x+1）]，x∈[0，1）}\\{2-x，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，
当x∈[0，1）时，log₂（x+1）∈[0，1），
即有[log₂（x+1）]=0，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈[0，1）}\\{2-x，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，
由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
则f（x）的周期为2，
画出函数y=f（x）和y=|log₅x|的图象，
由图象可得共有5个交点，
则函数g（x）=f（x）-|log₅x|共有5个零点．
故答案为：5．

点评 本题考查函数和方程的关系，考查函数零点的个数判断，注意运用图象解决，同时考查函数的周期性的运用，属于中档题．