Question

6．函数f（x）=x²（x-a），g（x）=-x．
（1）求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=0，则x=0，或x=$\frac{2a}{3}$，对a值进行分类讨论，可求出不同情况下函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，则a＜$x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³-ax²，
∴f′（x）=3x²-2ax，
令f′（x）=0，则x=0，或x=$\frac{2a}{3}$，
当a≤0时，f′（x）≥0在[0，2]上恒成立，此时当x=2时，函数f（x）取最大值8-4a，
令f（0）=f（2），则8-4a=0，a=2，
故当0＜a＜2时，当x=0时，函数f（x）取最大值0，
当a≥2时，当x=2时，函数f（x）取最大值8-4a，
（2）若f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
即x³-ax²＞-x在（0，+∞）上恒成立，
即a＜$x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
由y=$x+\frac{1}{x}$在（0，1]上为减函数，在[1，+∞）为增函数，
故当x=1时，y=$x+\frac{1}{x}$取最小值2，
故a＜2

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．