Question

16．分别求出满足下列等式的数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）a_n=2n+1-2ⁿ；
（2）a_n=2n+1-（-1）ⁿ；
（3）a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$；
（4）a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=2n+1-2ⁿ，利用等比数列、等差数列的求和公式计算即得结论；
（2）通过a_n=2n+1-（-1）ⁿ，分n为奇数、n为偶数两种情况讨论即可；
（3）通过裂项可知a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论；
（4）通过裂项可知a_n=log₃n-log₃（n+1），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a_n=2n+1-2ⁿ，
S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+n-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=n²+2n+2-2ⁿ⁺¹；
（2）∵a_n=2n+1-（-1）ⁿ，
∴当n为奇数时S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+2=n²+n+2，
当n为偶数时S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+n+2，}&{n为奇数}\\{{n}^{2}+n，}&{n为偶数}\end{array}\right.$；
（3）∵a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$；
（4）∵a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$=log₃n-log₃（n+1），
∴S_n=log₃1-log₃2+log₃2-log₃3+…+log₃n-log₃（n+1）
=log₃1-log₃（n+1）
=0-log₃（n+1）
=$lo{g}_{3}\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．