Question

6．已知函数f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$（a＞0且a≠1），设g（x）=log_a（x-3），若方程f（x）-1=g（x）有实根，则a的取值范围是（0，$\frac{3-\sqrt{5}}{16}$]．

Answer 1

分析 化简可得a=$\frac{x-5}{x+5}$•$\frac{1}{x-3}$（x＞5），再利用换元法令x-5=t（t＞0），从而化简，结合基本不等式求a的取值范围．

解答 解：∵f（x）-1=g（x），
∴f（x）-g（x）=1，
∴log_a$\frac{x-5}{x+5}$-log_a（x-3）=1，
∴a=$\frac{x-5}{x+5}$•$\frac{1}{x-3}$（x＞5），
令x-5=t（t＞0），
则a=$\frac{t}{（t+10）（t+2）}$=$\frac{1}{t+\frac{20}{t}+12}$，
∵t+$\frac{20}{t}$≥2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$；
∴0＜a≤$\frac{1}{4\sqrt{5}+12}$，即0＜a≤$\frac{3-\sqrt{5}}{16}$；
故答案为：（0，$\frac{3-\sqrt{5}}{16}$]．

点评 本题综合考查了对数函数，基本不等式，函数的值域的求法；同时考查了换元思想的应用．