Question

1．函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x．
（1）在[1，4]上是减函数，求a的范围；
（2）存在减区间，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在[1，4]恒成立，令h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可；
（2）解法1：先求出函数f（x）的导数，问题转化为ax²+2x-1＞0有正的实数解，由方程的观点去求解；
解法2：先求出函数f（x）的导数，问题转化为a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在（0，+∞）内有实数解，求其值域即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=$\frac{1-{ax}^{2}-2x}{x}$，（x＞0）
由题意可知f′（x）＜0在[1，4]恒成立．
即1-ax²-2x＜0在[1，4]恒成立
即a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在[1，4]恒成立，
令h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，则h（x）=（$\frac{1}{x}$-1）²-1≥-1，
而h（x）在[1，4]单调递减，h（x）_max=h（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{7}{16}$，
∴a＞-$\frac{7}{16}$；
（2）解法1：f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=$\frac{1-{ax}^{2}-2x}{x}$，
由题意知f′（x）＜0有实数解，
∵x＞0，
∴ax²+2x-1＞0有正的实数解．
当a≥0时，显然满足；
当a＜0时，只要△=4+4a＞0，
∴-1＜a＜0，
综上所述，a＞-1．
解法2：f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=$\frac{1-{ax}^{2}-2x}{x}$，
由题意可知f′（x）＜0在（0，+∞）内有实数解．
即1-ax²-2x＜0在（0，+∞）内有实数解．
即a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在（0，+∞）内有实数解．
∵x∈（0，+∞）时，$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1≥-1，
∴a＞-1．

点评 本题考查了导数与函数的单调性之间的关系，可从方程的观点与函数的观点解答，属于中档题．