Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}$a．点E、F分别在PD、BC上，且PE：ED=BF：FC
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：EF∥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）由底面是菱形，加上∠ABC=60°，又对角线AC=a，可以得到菱形的边长为a，这样PAB，PAD由三边长就可以得到∠PAB与∠PAD是直角，线面垂直得证．
（2）经F点作AB的平行线交AD于M点，连接EM，由比例关系可证EM∥PA，由平面EFM∥平面PBA，EF?平面EFM即可证明EF∥平面PAB．

解答 证明：（1）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC=a，
∴菱形的边长为a，
∵PB=PD=$\sqrt{2}$a．
∴PA²+AB²=PB²，PA²+AB²=PD²，
∴由勾股定理可得：PA⊥BA，PA⊥AD，又AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）经F点作AB的平行线交AD于M点，连接EM，
∵FM∥AB，
∴BF：FC=AM：MD，
∵PE：ED=BF：FC，
∴PE：ED=AM：MD，
∴EM∥PA，
∴平面EFM∥平面PBA，EF?平面EFM，
∴EF∥平面PAB．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．