Question

19．已知不等式|x+2|-|x+3|＞m．
（1）不等式有解，求m的取值范围；
（2）不等式的解集为R，求m的取值范围；
（3）不等式的解集为空集，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由条件利用绝对值的意义求得|x+2|-|x+3|的最大值和最小值，从而结合题意分别求得m的范围．

解答 解：（1）由于|x+2|-|x+3|表示数轴上的x对应点到-2对应点的距离减去它到-3对应点的距离，
它的最大值为1．
再根据不等式|x+2|-|x+3|＞m有解，可得m＜1．
（2）由于|x+2|-|x+3|表示数轴上的x对应点到-2对应点的距离减去它到-3对应点的距离，
它的最小值为-1．
再根据不等式|x+2|-|x+3|＞m的解集为R，可得m＜-1．
（3）由于|x+2|-|x+3|表示数轴上的x对应点到-2对应点的距离减去它到-3对应点的距离，
它的最小值为-1，最大值为1．
再根据不等式|x+2|-|x+3|＞m的解集为∅，可得m≥1．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立、恒成立、不可能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．