Question

9．已知f[f（x）-x²+x]=f（x）-x²+x仅有一个x₀∈R，使f（x₀）=x₀，求f（x）．

Answer 1

分析 由题意知f（x）-x²+x=x₀，从而可得x₀²-x₀=0，从而解出x₀，再讨论求f（x）．

解答 解：∵f[f（x）-x²+x]=f（x）-x²+x，且仅有一个x₀∈R，使f（x₀）=x₀，
∴f（x）-x²+x=x₀，
令x=x₀得f（x₀）-x₀²+x₀=x₀，
又∵f（x₀）=x₀，
∴x₀²-x₀=0，
∴x₀=0或x₀=1；
若x₀=0，则f（x）=x²-x，
故方程x²-x=x有两个不同的根；
若x₀=1，则f（x）=x²-x+1，
故方程x²-x+1=x有两个相同的根，
综上所述，f（x）=x²-x+1．

点评 本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．