Question

18．已知-1≤a≤1，f（a）=${∫}_{0}^{1}$（2ax²-a²x）dx，求f（a）的值域．

Answer 1

分析 先根据定积分的计算，求出f（a）=-$\frac{1}{2}$（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{9}$，再根据二次函数的图象和性质即可求出函数的值域．

解答 解：f（a）=${∫}_{0}^{1}$（2ax²-a²x）dx=（$\frac{2}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$a²x²）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{2}{3}$a-$\frac{1}{2}$a²=-$\frac{1}{2}$（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{9}$，
∵-1≤a≤1，
∴函数f（a）在[-1，$\frac{2}{3}$]上单调递增，在（$\frac{2}{3}$，1]上单调递减，
∴f（a）_min=f（-1）=-$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{6}$，
f（a）_max=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{9}$
∴f（a）的值域为[-$\frac{7}{6}$，$\frac{2}{9}$]．

点评 本题考查了定积分的计算和二次函数的性质，属于基础题．