Question

4．已知函数f（x）=x²-2x．
（1）若f（x）在[a，a+3]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求h（a）=M（a）-m（a）．
（2）关于a的方程h（a）=ba+5的两个实根分别为x₁∈（-3，-2），x₂∈（0，1），求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=x²-2x的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，分析给定区间[a，a+3]与对称轴的关系，结合二次函数的图象和性质，可得绪论；
（2）由（1）中综合的h（a）的解析式，求出y=h（a）与y=ba+5图象的两个交点横坐标x₁∈（-3，-2），x₂∈（0，1）的b的范围，求其交集，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-2x的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
当a+3＜1，即a＜-2时，f（x）在[a，a+3]上为减函数，
此时M（a）=f（a）=a²-2a，m（a）=f（a+3）=（a+3）²-2（a+3）=a²+4a+3，
h（a）=M（a）-m（a）=-6a-3；
当1≤a+3≤$\frac{5}{2}$，即-2≤a＜-$\frac{1}{2}$时，f（x）在[a，1]上为减函数，在[1，a+3]上为减函数，
此时M（a）=f（a）=a²-2a，m（a）=f（1）=-1，
h（a）=M（a）-m（a）=a²-2a+1，
当$-\frac{1}{2}$＜a≤1时，f（x）在[a，1]上为减函数，在[1，a+3]上为减函数，
此时M（a）=f（a+3）=（a+3）²-2（a+3）=a²+4a+3，m（a）=f（1）=-1，
h（a）=M（a）-m（a）=a²+4a+4，
当a＞1时，f（x）在[a，a+3]上为增函数，
此时M（a）=f（a+3）=（a+3）²-2（a+3）=a²+4a+3，m（a）=f（a）=a²-2a，
h（a）=M（a）-m（a）=6a+3；
（2）y=ba+5表示过（0，5）点，斜率为b的直线，
当a∈（-3，-2）时，h（a）∈（9，15），此时b∈（$\frac{15-5}{-3}$，$\frac{9-5}{-2}$）=（$-\frac{10}{3}$，-2），
当a∈（0，1）时，h（a）∈（4，9），此时b∈（-∞，4），
综上可得b的取值范围为：（$-\frac{10}{3}$，-2）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．