Question

11．已知方程4^x+2（m-1）2^x+2m+6=0在[0，+∞）上有实根，求实数m的范围．

Answer 1

分析 由参数分离可得-2m=$\frac{{4}^{x}-2•{2}^{x}+6}{{2}^{x}+1}$，令t=2^x+1（t≥2），则2^x=t-1，对右边化为t的函数，运用基本不等式可得最值，解m的不等式可得m的范围．

解答 解：方程4^x+2（m-1）2^x+2m+6=0在[0，+∞）上有实根，即为-2m=$\frac{{4}^{x}-2•{2}^{x}+6}{{2}^{x}+1}$，
令t=2^x+1（t≥2），
则2^x=t-1，
即有$\frac{{4}^{x}-2•{2}^{x}+6}{{2}^{x}+1}$=$\frac{（t-1）^{2}-2（t-1）+6}{t}$=t+$\frac{9}{t}$-4≥2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$-4=2，
当且仅当t=3时，取得等号．
即有-2m≥2，解得m≤-1．
即有m的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查函数和方程的关系，注意运用分离参数方法和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．