Question

12．已知各项均为正数的等差数列{a_n}的公差d不等于0，a₁=2，设a₁，a₃，a₇是公比为q的等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，n∈N^*，数列{c_n}的前n项和为T_n，若对任意的正整数n，T_n≥λn恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₃，a₇是公比为q的等比数列{b_n}的前三项，
∴${a}_{3}^{2}$=a₁•a₇，
∴（2+2d）²=2（2+6d），
化为d²-d=0，d≠0，
解得d=1．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
∴$q=\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=$2+\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹．
∵对任意的正整数n，T_n≥λn恒成立，
∴n×2ⁿ⁺¹≥λn恒成立，化为λ≤2ⁿ⁺¹．
∴λ≤4．
∴实数λ的取值范围是（-∞，4]．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．