Question

15．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知a（sinA-sinB）=2（sin²C-sin²B），a=2snA．
（1）求角C；
（2）求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）a（sinA-sinB）=2（sin²C-sin²B），a=2sinA，利用正弦定理可得a²+b²-c²=ab，利用cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即可求角C；
（2）表示出△ABC的面积S，结合辅助角公式，即可求△ABC的面积S的最大值．

解答 解：（1）∵a（sinA-sinB）=2（sin²C-sin²B），a=2sinA，
∴2sinA（sinA-sinB）=2（sin²C-sin²B），
∴由正弦定理可得a（a-b）=c²-b²，
∴a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（2）∵a=2sinA，∴R=1，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=4sinAsinB=4sinAsin（120°-A）=4sinA（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=1+2sin（2A-30°）
∵0°＜A＜120°，
∴-30°＜2A-30°＜210°，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-30°）≤1，
∴△ABC的面积S的最大值为3．

点评 本题考查求△ABC的面积S的最大值，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查辅助角公式，属于中档题．