Question

20．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，f（0）=f（2）；
（1）a，b之间有怎样的关系
（2）若f（x）的定义域和值域都是[-1，5]，求a，b，c．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=f（2）可得二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象关于直线x=1对称，即-$\frac{b}{2a}$=1，整理可得a，b之间关系；
（2）若f（x）的定义域和值域都是[-1，5]，结合（1）中结论，分a＞0和a＜0，结合二次函数的图象和性质，构造方程组，解得答案．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c，f（0）=f（2）；
∴二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象关于直线x=1对称，
即-$\frac{b}{2a}$=1，
即b=-2a，
即2a+b=0，
（2）由（1）中二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象关于直线x=1对称，
且f（x）的定义域和值域都是[-1，5]，
若a＞0，则$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-1\\ f（5）=5\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=c-a=-1\\ 25a+5b+c=c+15a=5\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{8}\\ b=-\frac{3}{4}\\ c=-\frac{5}{8}\end{array}\right.$，
若a＜0，则$\left\{\begin{array}{l}f（1）=5\\ f（5）=-1\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=c-a=5\\ 25a+5b+c=c+15a=-1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{8}\\ b=\frac{3}{4}\\ c=\frac{37}{8}\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．