Question

已知复数z满足：z²+z+1=0，则1+z+z²+z³+…+z²⁰⁰⁷=

1

．

Answer 1

分析：先把z求出来，再找到z的特性，然后把问题分组，构造z²+z+1，利用z²+z+1=0和z的特性即可求值

解答：解：∵复数z满足z²+z+1=0
∴z=

-1± 3 i

2

∴z³=1
又1+z+z²+z³+…+z²⁰⁰⁷=（1+z+z²）+（z³+z⁴+z⁵）+（z⁶+z⁷+z⁸）+…+（z²⁰⁰⁴+z²⁰⁰⁵+z²⁰⁰⁶）+z²⁰⁰⁷
=（1+z+z²）+z³（1+z+z²）+z⁶（1+z+z²）+…+z²⁰⁰⁴（1+z+z²）+z²⁰⁰⁷=z²⁰⁰⁷=（z³）⁶⁶⁹=1

点评：本题考查复数运算，要注意问题的变形和条件的灵活应用．属简单题