Question

我们把离心率为e=

5 +1

2

的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)称为黄金曲线，O为坐标原点，如图所示，给出以下几个命题：
①双曲线x2-

2y2

5 +1

=1是黄金曲线；
②若b²=ac，则该双曲线是黄金曲线；
③若∠F1B1A2=900，则该双曲线是黄金曲线；
④若∠MON=90°，则该双曲线是黄金曲线；
其中正确的是

①②③④

．

Answer 1

分析：对于①求出双曲线的离心率判断正误；
对于②通过a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；
对于③通过∠F₁B₁A₂=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；
对于④利用∠MON=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；

解答：解：①双曲线x2-

2y2

5 +1

=1可知，a=1，b²=

5 +1

2

，所以c²=

5 +3

2

，
所以双曲线的离心率为

5 +3 2

1

=

5 +1

2

，是黄金曲线，正确；
②b²=ac，即-a²+c²=ac，解得e=

c

a

=

5 +1

2

则该双曲线是黄金曲线；正确．
③因为∠F₁B₁A₂=90°，所以（a+c）²=a²+2b²+c²，即-a²+c²=ac，解得e=

c

a

=

5 +1

2

则该双曲线是黄金曲线；正确．
④因为∠MON=90°，所以c=

b2

a

，即a²+c²=ac，解得e=

c

a

=

5 +1

2

则该双曲线是黄金曲线；正确．
故答案为：①②③④

点评：本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力．