Question

我们把离心率为e=

5 +1

2

的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图，A₁，A₂是右图双曲线的实轴顶点，B₁，B₂是虚轴的顶点，F₁，F₂是左右焦点，M，N在双曲线上且过右焦点F₂，并且MN⊥x轴，给出以下几个说法：
①双曲线x²-

2y2

5 +1

=1是黄金双曲线；
②若b²=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③如图，若∠F₁B₁A₂=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④如图，若∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是（　　）

• A、①②④
• B、①②③
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：①由双曲线x²-

2y2

5 +1

=1，可得离心率e=

1+ 5 +1 2

，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；
②由b²=ac，可得c²-a²-ac=0，化为e²-e-1=0，又e＞1，解得e，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；
③如图，由∠F₁B₁A₂=90°，可得|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2，可得b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化为c²-ac-a²=0，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；
④如图，由∠MON=90°，可得MN⊥x轴，|MF2|=

b2

a

，可得△MOF₂是等腰直角三角形，得到c=

b2

a

，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线．

解答：解：①由双曲线x²-

2y2

5 +1

=1，可得离心率e=

1+ 5 +1 2

=

6+2 5 4

=

5 +1

2

，故该双曲线是黄金双曲线；
②∵b²=ac，∴c²-a²-ac=0，化为e²-e-1=0，又e＞1，解得e=

1+ 5

2

，因此该双曲线是黄金双曲线；
③如图，∵∠F₁B₁A₂=90°，∴|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2，
∴b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化为c²-ac-a²=0，由②可知该双曲线是黄金双曲线；
④如图，∵∠MON=90°，
∴MN⊥x轴，|MF2|=

b2

a

，且△MOF₂是等腰直角三角形．
∴c=

b2

a

，即b²=ac，由②可知：该双曲线是黄金双曲线．
综上可知：①②③④所给出的双曲线都是黄金双曲线．
故选：D．

点评：本题考查了新定义、双曲线的标准方程及其性质，属于中档题．