Question

已知数列{a_n}满足a₁=a（a≠0，且a≠1），其前n项和S_n=

a

1-a

（1-a_n）
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）记b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），T_n为数列{b_n}的前n项和，那么：
①当a=2时，求T_n；
②当a=-

7

3

时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=s_n-s_n-1得到整理得

an

an-1

=a，所以：{a_n}为等比数列；
（2）根据（1）a_n=aⁿ化简得b_n①当a=2时，T_n=（2+2•2²++n•2ⁿ）lg2，2T_n=[2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]lg2，两式相减得到T_n；②如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数．b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-

a2

1-a2

）lg|a|，其中k∈N⁺，判断b_2k+2-b_2k的符号来求出m即可．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

a

1-a

（1-a_n-1），
整理得：

an

an-1

=a，
所以{a_n}是公比为a的等比数列；
（2）∵a₁=a，∴a_n=aⁿ（n∈N^*），
∴b_n=a_nlg|a_n|=aⁿlg|aⁿ|=naⁿlg|a|（n∈N^*），
①当a=2时，T_n=（2+2•2²++n•2ⁿ）lg2，2T_n=[2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]lg2，
两式相减得：-T_n=（2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）lg2，
②∵-1＜a＜1，∴当n为偶数时，b_n=naⁿlg|a|＞0；当n为奇数时，b_n=naⁿlg|a|＜0，
如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数，
又b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-

a2

1-a2

）lg|a|，其中k∈N^*，
当a=-

7

3

时，a²-1=

2

9

，
∴2a^2k（a²-1）lg|a|＞0，又

a2

1-a2

=

7

2

，
∴当k＞

7

2

时，b_2k+2＞b_2k，即b_g＜b₁₀＜b₁₂；
当k＜

7

2

时，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂，
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．

点评：考查学生会确定等比关系的能力，运用数列求和的能力．