Question

（2012•济南三模）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N﹢）的旅游人数f（t） （万人）近似地满足f（t）=4+

1

t

，而人均消费g（t）（元）近似地满足g（t）=120-|t-20|．
（1）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N^﹢）的函数关系式；
（2）求该城市旅游日收益的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；
（2）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，化简得W（t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的函数求出最值比较即可．

解答：解：（1）由题意，根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数可得W（t）=f（t）g（t）=（4+

1

t

）（120-|t-20|）=

401+4t+ 100 t (1≤t≤20) 559+ 140 t -4t(20＜t≤30)

（2）当t∈[1，20]时，401+4t+

100

t

≥401+2

4t× 100 t

=441（t=5时取最小值）
当t∈（20，30]时，因为W（t）=559+

140

t

-4t递减，所以t=30时，W（t）有最小值W（30）=443

2

3

∵443

2

3

＞441
∴t∈[1，30]时，W（t）的最小值为441万元．

点评：本题考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力，属于中档题．