Question

（2012•济南三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且2PA=AD，E、F、G、H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：DH⊥平面AEG；
（Ⅲ）求三棱锥E-AFG与四棱锥P-ABCD的体积比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行公理证明BC∥EF，再利用线面平行的判定，证明BC∥平面EFG；
（Ⅱ）利用PA⊥平面ABCD，证明AE⊥DH，利用△ADG≌△DCH，证明DH⊥AG，从而可证DH⊥平面AEG；
（Ⅲ）

VE-APG

VP-ABCD

=

VG-AEF

VP-ABCD

，计算出体积可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF…（2分）
∵BC?平面EFG，EF?平面EFG，
∴BC∥平面EFG…（3分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DH?平面ABCD，
∴PA⊥DH，即 AE⊥DH…（5分）
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，
∴DH⊥平面AEG…（8分）
（Ⅲ）解：

VE-AFG

VP-ABCD

=

VG-AEF

VP-ABCD

=

1 3 DG×S△AEF

1 3 PA×S△ABCD

=

1 2 CD× 1 2 EF×EA

PA×AD×CD

=

1 2 CD× 1 2 × 1 2 AD× 1 2 PA

PA×AD×CD

=

1

16

…（12分）

点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查体积的计算，解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直的判定，属于中档题．