Question

【题目】已知函数，其中.

(Ⅰ)函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；

(Ⅱ)求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)3.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)若能与轴相切，则存在，使得，能求出，说明存在，否则说明不存在；

(Ⅱ)把已知不等式变形为，由于，因此只要函数是增函数即可，由中得，这是必要条件，其中最大整数是3，因此下面只要证时，恒成立．为此可分类，时，，代入可证有，时，由可证，从而可得结论．

试题解析：

(Ⅰ)由于.

假设函数的图象与轴相切于点，

则有，即.

显然代入方程中得，.

∵，∴无解．故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.

(Ⅱ)依题意，

恒成立.

设，则上式等价于，要使

对任意恒成立，即使在上单调递增，

∴在上恒成立.

则，∴在上成立的必要条件是：.

下面证明：当时，恒成立.

设，则，当时，，当时，，

∴，即.那么，

当时，；

当时，，∴恒成立.

因此，的最大整数值为 3.