【题目】在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为离心率为,两准线之间的距离为8,点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率公式求得,由椭圆的准线方程,则,即可求得和的值,则,即可求得椭圆方程;(2)设点坐标,分别求得直线的斜率及直线的斜率,则可求得及的斜率及方程,联立求得点坐标,由满足椭圆方程,求得,结合在椭圆E上,联立即可求得点坐标.
试题解析:(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以,,解得,于是,因此椭圆E的标准方程是.
(2)由(1)知,,.设,因为为第一象
限的点,故.当时,与相交于,与题设不符.
当时,直线的斜率为,直线的斜率为, 直线的斜率为,直线的斜率为,
从而直线的方程,① 直线的方程,②
由①②,解得,所以.因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.又在椭圆E上,故.
由,解得;,无解.因此点P的坐标为.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程或 ;③找关系:根据已知条件,建立关于、、的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
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【题目】为探索课堂教学改革,江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式,在甲、乙两个平行班进行教学实验。为了解教学效果,期末考试后,分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计,得到如下茎叶图。记成绩不低于70分者为“成绩优良”。
(Ⅰ)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳,并说明理由;
(Ⅱ)构造一个教学方式与成绩优良列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
(附:,其中是样本容量)
独立性检验临界值表:
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【题目】已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点任意作互相垂直的两条直线,分别交曲线于点和.设线段, 的中点分别为,求证:直线恒过一个定点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求面积的最小值.
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【题目】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | ||||||
赞成人数 |
()完成被调查人员的频率分布直方图.
()若从年龄在,的被调查者中各随机选取人进行追踪调查,求恰有人不赞成的概率.
()在在条件下,再记选中的人中不赞成“车辆限行”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】如图,在Rt中, ,点、分别在线段、上,且,将沿折起到的位置,使得二面角的大小为.
(1)求证:;
(2)当点为线段的靠近点的三等分点时,求与平面 所成角的正弦值.
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【题目】在中, 分别是角的对边,已知,现有以下判断:
①不可能等于15; ②;
③作关于的对称点的最大值是;
④若为定点,则动点的轨迹围成的封闭图形的面积是。请将所有正确的判断序号填在横线上______________。
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【题目】已知函数f(x)=sin 2x-cos2x.
(1)求f(x)的周期和最小值;
(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变),再把所得图像上的所有点向上平移个单位,得到函数g(x)的图像,当时,求g(x)的值域.
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