Question

如图，三棱锥中，底面，

，，点、分别是、的中点.

（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

解析:

方法（一）

 (Ⅰ)由已知可得为等腰直角三角形，则． 1分由平面，平面，则．又，，则平面，由平面，得．（也可以用三垂线定理直接证明）由中位线定理得，，于是，又，所以平面．6分

(Ⅱ)由第(Ⅰ)问，已证明平面，又平面，则．已证明，又，则平面．因为平面，平面，所以，．由二面角的定义，得为二面角的平面角．…………9分

设，可求得，，

在中，可求得，在中，可求得，

在中，由余弦定理得，．

则为所求．……12分

方法（二）

如图建立空间直角坐标系，设，

可求出以下各点的坐标：A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），

P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，1，1）

(Ⅰ)，，

有，，

于是，，又，

则平面．……6分

(Ⅱ)，有，，

于是，，由二面角定义，向量与的夹角为所求．

，所以为所求．……12分

本小题主要考查三棱锥，直线与平面的垂直，二面角的计算，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．