Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，．

（1）若，求直线的方程；

（2）若直线与轴交于点，设，，，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）当直线斜率不存在时，为直径，长度不为，不成立.当直线斜率存在时，设出直线的斜截式方程，利用圆心到直线的距离以及弦长公式列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

（2）当直线斜率不存在时，求得的坐标，根据，，结合平面向量共线的坐标表示，求得的值，进而求得的值.当直线斜率存在时，设出直线的斜截式方程，求得点坐标，联立直线的方程和圆的方程，写出韦达定理，结合平面向量共线的坐标表示，求得的表达式，进而求得的值.

（1） 当直线的斜率不存在时，，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，

所以圆心到直线的距离，

因为，所以，解得，

所以直线的方程为．

（2） 当直线的斜率不存在时，不妨设，，，

因为，，所以，，

所以，，∴.

当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，

因为直线与轴交于点，所以．直线与圆交于点，，设，，

由得，∴，，

因为，，所以，，

所以，，

所以，

综上.