Question

2．已知向|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=2．
（1）若|$\overrightarrow a$|与|$\overrightarrow b$|的夹角为$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|；
（2）若（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3，求|$\overrightarrow a$|与|$\overrightarrow b$|夹角．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积求模长即可；
（2）根据平面向量的数量积求向量的夹角即可．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=2，且|$\overrightarrow a$|与|$\overrightarrow b$|的夹角为$\frac{π}{3}$，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{3}$=1×2×$\frac{1}{2}$=1，
所以|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{4\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{1+4×1+4×4}$
=$\sqrt{21}$；
（2）因为（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=3，
所以（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=6${\overrightarrow{a}}^{2}$-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$
=6-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-4
=3，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|cosθ=1×2×cosθ=-1，
解得cosθ=-$\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
所以向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了利用平面向量的数量积求模长与夹角的应用问题，是基础题目．