Question

已知数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=sin（

π

2

a_n）（n∈N^*）．
证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

Answer 1

分析：先看当n=1时，可求得a₂，则可验证结论成立；假设n=k时结论成立，根据0＜a_k＜a_k+1＜1，推断出0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．
进而可知0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，结论成立，最后综合可知原式成立．

解答：证明：①n=1时，a₁=

1

2

，
a₂=sin（

π

2

a₁）=sin

π

4

=

2

2

．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故结论成立．
②假设n=k时结论成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
则0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．
∴0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．

点评：本题主要考查了数列的地推式和用数学归纳法证明不等式．