Question

如图1所示，正△ABC中，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC的中点．现将△ACD沿CD折起，使平面ABC⊥平面BCD（如图2），则下列结论中不正确的是（ ）

A．AB∥平面DEF
B．CD⊥平面ABD
C．EF⊥平面ACD
D．V_{三棱锥C-ABD}=4V_{三棱锥C-DEF}

Answer 1

【答案】分析：根据三角形中位线定理及线面平行的判定定理，可判断AB∥平面DEF是否成立；
根据CD是AB边上的高，结合线面垂直的判定定理，可判断CD⊥平面ABD是否成立；
根据线面夹角的定义，求出AB与平面ACD的夹角，结合EF∥AB，可求出EF与平面ACD的夹角，进而判断出EF⊥平面ACD是否成立；
根据等积法，及两个棱锥底面面积及高的关系，可判断V_{三棱锥C-ABD}=4V_{三棱锥C-DEF}是否正确．
解答：解：在折叠后的△ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，故EF∥AB，由AB?平面DEF，EF?平面DEF，故AB∥平面DEF，即A正确；
正△ABC中，CD是AB边上的高，故折叠后，CD⊥AD，且CD⊥BD，又由CD，BD?平面ABD，CD∩BD=D，故CD⊥平面ABD，即B正确；
由CD⊥AD，且CD⊥BD，平面ABC⊥平面BCD，D为AB边的中点，故△ADB为等腰直角三角形，∠BAD即为BA与平面ACD的夹角，故BA与平面ACD的夹角为45°，又由EF∥AB，可得EF与平面ACD的夹角为45°，故C错误；
V_{三棱锥C-ABD}=V_{三棱锥A-BCD}，V_{三棱锥C-DEF}=V_{三棱锥E-CDF}，两个棱锥的底面积和高均为2：1，故体积为4：1，故D中V_{三棱锥C-ABD}=4V_{三棱锥C-DEF}正确．
故选C
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系的判定，性质，几何特征是解答的关键．