Question

已知f（x）=-x²+2ax+1-a．
（1）若f（x）在[0，1]上的最大值是2，求实数a的值；
（2）设M={a∈R：f（x）在区间[-2，3]上的最小值为-1}，试求M；
（3）是否存在实数a使f（x）在[-4，2]上的值域为[-12．，13]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．
（2）根据函数f（x）=-x²+2ax+1-a，分区间[-2，3]在对称轴的左侧，右侧，两侧三种情况进行讨论，根据f（x）在区间[-2，3]上的最小值为-1，构造a的方程，判断是否有满足条件的解，最后综合讨论结果，即可得到答案．
（3）根据函数f（x）=-x²+2ax+1-a，分区间对称轴[-4，2]左侧，右侧，在区间上但在中点左侧，右侧四种情况进行讨论，根据f（x）在[-4，2]上的值域为[-12，13]，构造a的方程，判断是否有满足条件的解，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：（1）对称轴x=a，
当a＜0时，[0，1]是f（x）的递减区间，f（x）_max=f（0）=1-a=2，∴a=-1；
当a＞1时，，[0，1]是f（x）的递增区间，f（x）_max=f（1）=a=2，∴a=2；
当0≤a≤1时，f（x）_max=f（a）=）=a^2-a+1=2，解得a=

1± 5

2

，与0≤a≤1矛盾；
所以a=-1或a=2．
（2）当a＜-2时，区间[-2，3]是f（x）的递减区间，f（x）_min=f（3）=5a-8＜-18，不满足要求；
当a＞3时，区间[-2，3]是f（x）的递增区间，f（x）_min=f（-2）=-5a-3＜18，不满足要求；
当-2≤a≤3时，f（x）_min=f（a）=a²-a+1≥

3

4

不满足要求；
综上不存在满足条件的a值，故M=Φ．
（3）当a＜-4时，区间[-4，2]是f（x）的递减区间，则若f（x）_min=f（2）=-12，则a=-3，不满足要求；
当a＞2时，区间[-4，2]是f（x）的递增区间，则若f（x）_min=f（-4）=-12，则a=-

1

3

，不满足要求；
当-4≤a≤-1时，f（x）_min=f（2）=3a-3=-12，则a=-3，此时f（x）_max=f（a）=a²-a+1=13，满足要求；
当-1≤a≤2时，f（x）_min=f（-4）=-9a-15=-12，则a=-

1

3

，此时f（x）_max=f（a）=a²-a+1=

13

9

，不满足要求；
综上，在实数a=-3满足条件．

点评：此题是个中档题．本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题．关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论