Question

求和：1+2x+3x²+…+nx^n-1，x∈R．

Answer 1

分析：根据题意，分3种情况讨论：（1）x=1时，由等差数列前n项和公式可得S_n，（3）x≠1时，用错位相减法，可得答案．

解答：解，根据题意，分3种情况讨论：
（1）x=1时，由等差数列前n项和公式可得S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
（2）当x≠1时，
设S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1，①
则xS_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ，②
①-②可得：（1-x）S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=1-nxⁿ+

x(1-xn-1)

1-x

则S_n=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．
故当x=0时，S_n=1；
当x=1时，S_n=

n(n+1)

2

，
当x≠0且x≠1时，S_n=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．

点评：本题考查数列的求和，注意按x的值不同，分3种情况讨论，容易遗漏x=0的情况．