Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点
求证：（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）DB₁与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

证明：（1）设BC₁交B₁C与E，连接DE．
∵E，D分别为BC₁，AB的中点，
∴DE∥AC₁，又DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD；
（2）取BC中点F，连DF，B₁F
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁∴CC₁⊥AC
又AC=3，BC=4，AB=5知AC⊥BC∴AC⊥面BCC₁B₁
又F为BC中点，D为AB中点∴DF∥AC
∴DF⊥面BCC₁B₁
∴DB₁在平面BCC₁B₁内的射影为FB₁
∴DB₁与平面BCC₁B₁的所成角为∠DB₁F．
在RT△FB₁B中，B₁B=4，BF=2，
∴B₁F=2，
又DF=
∴在RT△DFB₁中，tan∠DB₁F===．
分析：（1）设BC₁交B₁C与E，连接DE，通过证明AC₁与平面B₁CD内的直线DE证得，利用三角形中位线性质．
（2）取BC中点F，连DF，B₁F，∠DB₁F为DB₁与平面BCC₁B₁所成角．在直角△DB₁F中求解即可．
点评：本题考查空间直线与直线、直线与平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．