Question

下列四种说法：①命题“?α∈R，sin3α=sin2α”的否定是假命题；②在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=

2

，A=

π

6

则B=

π

4

；③设二次函数f（x）=x²+ax+a，则“0＜a＜3-2

2

”是“方程f（x）-x=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1”的充分必要条件．④过点（

1

2

，1）且与函数y=

1

x

的图象相切的直线方程是4x+y-3=0．其中所有正确说法的序号是

①④

．

Answer 1

分析：对于①写出命题“?α∈R，sin3α=sin2α”的否定是“?α∈R，sin3α≠sin2α”，再进行判断；②由于b＞a，故应有两解，故错误；③方程f（x）-x=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，则x²+（a-1）x+a=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，易得此命题不正确；④先求导函数得到切线的斜率，利用过点（

1

2

，1），可得切线方程．

解答：解：对于①命题“?α∈R，sin3α=sin2α”的否定是“?α∈R，sin3α≠sin2α”，显然是个假命题，故正确；
②由于b＞a，故应有两解，故错误；
③方程f（x）-x=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，则x²+（a-1）x+a=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，易得此命题不正确；
④y/=-

1

x2

，当x=

1

2

时，斜率为-4，又过点（

1

2

，1），故切线方程是4x+y-3=0，正确．
故答案为①④

点评：本题主要考查命题真假的判断，关键是对美一个命题进行判断，涉及知识点较多，是一道综合题．