Question

下列四种说法：
①命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③在区间[-2，2]上任意取两个实数a，b，则关于x的二次方程x²+2ax-b²+1=0的两根都为实数的概率为1-

π

16

；
④过点（

1

2

，1）且与函数y=

1

x

图象相切的直线方程是4x+y-3=0．
其中所有正确说法的序号是

 

．

Answer 1

分析：①中特称命题的否定为全称命题；
②中可先求出“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充要条件，再进行判断；
③本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（a，b）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x²+2ax-b²+1=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解；
④中利用导数求解即可．

解答：解：①中命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”为特称命题，其否定应为全称命题，注意量词的变化，故①正确；
②中m=-2时，两直线为：-2y+1=0和-4x-3=0，两直线垂直，而两直线垂直时，有 -

m+2

m

•(-

m-2

m+2

) =-1，解得m=1或m=-2
所以“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件；
③解：试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|-2≤a≤2，-2≤b≤2}．其面积为16．
构成事件“关于x的一元二次方程x²+2ax-b²+1=0有实根”的区域为
{（a，b）|-12≤a≤2，-2≤b≤2，a²+b²-1≥0}
所以所求的概率为=1-

π

16

．故对；
④设切点为P（x₀，y₀），则函数y=

1

x

在P点处的切线的斜率为 y′|x=x0=-

1

x02

，
切线方程为：y-

1

x0

= -

1

x02

(x-x0)①，若此切线过点（

1

2

，1），
代入切线方程得 x02-2x0+

1

2

=0，解出x₀，
代入①式可求得切线方程，④错误
故答案为：①③

点评：本题考查命题的否定、两直线垂直的充要条件的判断、几何概型、过某点的函数的切线方程等知识，考查知识点较多，综合性较强．