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设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是 $数学公式$ 、 $数学公式$ ，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^）分别满足下列两个条件：
① $数学公式$ 且 $数学公式$ = $数学公式$ + $数学公式$ ；② $数学公式$ 且 $数学公式$ = $数学公式$ ．
（1）求 $数学公式$ 及 $数学公式$ 的坐标；
（2）若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^）的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数M，对一切（n∈N^*）都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）设A_nA_n+1的所在的直线交x轴于点p，则有
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，等等．
即在数列{a_n}中， $\text{[math]}$ 是数列的最大项，所以存在最小的自然数M=6，对一切n∈N^*，都有a_n＜M成立．
分析：（1）利用向量加法的三角形法则的推广，及已知条件① $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 且
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．得到 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）设A_nA_n+1的所在的直线交x轴于点p，结合图形表示出四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，
（3）求出 $\text{[math]}$ ，推广对n的讨论得到a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a₄-a₅=0，a₅-a₆0，
a₆-a₇＞0，求出数列中最大值为 $\text{[math]}$ ，求出M．
点评：本题考查解决数列的问题关键是求出数列的通项，根据通项的特点，选择合适的方法来解决，在高考题中数列出现在解答题中，属于难题．

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设x轴、y轴正方向上的单位向量分别为

、

，坐标平面上的点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：①

OA1

且

AnAn+1

；②

OB1

且

BnBn+1

)n×2

；求

OAn

及

OBn

的坐标；若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数N，当n＞N时恒有a_n+1＜a_n成立？若存在，求出N的值；若不存在，请说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是

、

，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①

OA1

=16

且

An-1A

（n∈N^*，n≥2）；
②

OB1

且

Bn-1Bn

n(n+1)

(n∈N*，n≥2)．
（1）求

OAn

及

OBn

的坐标；
（2）设an=

OAn

•

OBn

，求a_n的通项公式；
（3）对于（Ⅱ）中的a_n，是否存在最大的自然数M，对所有n∈N^*都有a_n≥M成立？若存在，求M值；若不存在，说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是

、

，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①

OA1

且

AnA

n+1=

；②

OB1

且

BnBn+1

)n ×3

．
（1）求

OAn

及

OBn

的坐标；
（2）若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数M，对一切（n∈N^*）都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是

、

，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①

OA1

且

An-1A

（n∈N^*，n≥2）；
②

OB1

且

Bn-1Bn

n(n+1)

(n∈N*，n≥2)．（其中O为坐标原点）
（I）求向量

OAn

及向量

OBn

的坐标；
（II）设an=

OAn

•

OBn

，求a_n的通项公式并求a_n的最小值；
（III）对于（Ⅱ）中的a_n，设数列bn=

sin

nπ

cos

(n-1)π

(n+1)an-6n+3

，S_n为b_n的前n项和，证明：对所有n∈N^*都有Sn＜

．

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（2009•长宁区二模）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是

、

，坐标平面上点列A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：①

OA1

且

AnAn+1

；②

OB1

且

BnBn+1

)n×3

．
（1）求

OA2

及

OA3

的坐标，并证明点A_n在直线y=x+1上；
（2）若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N^*都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

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