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    （2009•长宁区二模）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
    i
    、
    j
    ，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①
    OA1
    =
    j
    且
    AnAn+1
    =
    i
    +
    j
    ；②
    OB1
    =3
    i
    且
    BnBn+1
    =(
    2
    3
    )    n    ×3
    i
    ．
    （1）求
    OA2
    及
    OA3
    的坐标，并证明点An在直线y=x+1上；
    （2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式；
    （3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N*都有an＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．
    分析：（1）根据向量的加法的几何意义，再结合坐标运算的法则，可得
    OA2
    及
    OA3
    的坐标，因而再结合已知条件，可得
    OA n
    =
    OA 1
    +
    A 1A 2
    +…+
    A n-1A n
    ，代入坐标可得An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1；
    （2）用类似于（1）的方法，结合已知条件用等比数列求和公式，得：
    OB n
    =(9-9×(
    2
    3
    ) n，0)    ，代入四边形
    AnBnBn+1An+1的面积，进而得到an的通项公式为an=5+（n-2）×(
    2
    3
    ) n-1    ；
    （3）通过作差，得an-an+1= 
    n-4
    3
    ×(
    2
    3
    )    n-1    ，再通过讨论得到这个差在n=4时为0，而n＜4时为正，n＞4时为负，从而得到a4=a5为的最大项，因此不难求出存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*都有an＜M成立．
    解答：解：（1）
    OA2
    =
    OA1
    +
    A1A2
    =
    j
    +(
    i
    +
    j
    )=
    i
    +2
    j
    =(1，2)    ，
    OA2
    +
    A2A3
    =
    i
    +2
    j
    +(
    i
    +
    j
    )=2
    i
    +3
    j
    =(2，3)
    OA n
    =
    OA 1
    +
    A 1A 2
    +…+
    A n-1A n

    =
    j
    +(n-1)(
    i
    + 
    j
    ) =(n-1)
    i
    +n
    j
    =（n-1，n）
    所以An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点An在直线y=x+1上．
    （2）
    OB n
    =
    OB 1
    +
    B 1B 2
    +…+
    B n-1B n

    =3
    i
    +
    2
    3
    ×3
    i
    + (
    2
    3
    ) 2×3
    i
    +…+(
    2
    3
    ) n-1×3
    i

    =
    1-(
    2
    3
    ) n
    1-
    2
    3
    ×3
    i
    =(9-9×(
    2
    3
    ) n，0)    ．
    设直线y=x+1交x轴于P（-1，0），
    则an=S △PA n+1B n+1-S △PA nB n
    =
    1
    2
    [10-9×(
    2
    3
    ) n+1    ]×（n+1）-
    1
    2
    [10-9×(
    2
    3
    ) n    ]×n
    =5+（n-2）×(
    2
    3
    ) n-1
    （3）an-an+1=[5+(n-2)×(
    2
    3
    )n-1]-[5+(n-1)(
    2
    3
    )n]    =(
    2
    3
    )n-1[(n-2)-(n-1)×(
    2
    3
    )]=
    n-4
    3
    ×(
    2
    3
    )n-1
    所以a1-a2＜0，a2-a3＜0，a3-a4＜0，a4-a5=0，a5-a6＞0，a6-a7＞0，…等
    即在数列{an}中，a4=a5=5+
    16
    27
    是数列的最大项，
    所以存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*都有an＜M成立．
    点评：本题考查了平面向量与数列的综合，是一道难题．对于等比数列的通项和求和公式的掌握，数列单调性的充公理解，是解决本题的关键．
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    		2
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    		2
    ，+∞)
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    4
    		3
    4
    		3
    ．

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