Question

20. 已知｛a_n｝是等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，记S_n为数列｛b_n｝的前n项和.

（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整数），求证：S_k-1=（m-1）a₁;

（2）若b₃=a_i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列{b_n}中的每一项都是数列｛a_n｝中的项。

（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b_n}中有三项等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设等差数列的公差为d，则由题设得a₁+d=a₁q，d=a₁(q-1)，且q≠1.

由b_k=a_m得b₁q^k-1=a₁+(m-1)d，所以b₁(q^k-1-1)=(m-1)d，

S_k-1==(m-1)a₁.

故等式成立。

（2）（i）证明q为整数：

由b₃=a_i得b₁q²=a₁+(i-1)d，即a₁q²=a₁+(i-1)a₁(q-1)，

移项得a₁(q+1)(q-1)=a₁(i-1)(q-1).

因a₁=b₁≠0，q≠1，得q=i-2.故q为整数。

（ii）证明数列｛b_n｝中的每一项都是数列｛a_n｝中的项：

设b_n是数列｛b_n｝中的任一项，只要讨论n>3的情形。

令b₁q^n-1=a₁+(k-1)d，即a₁q^n-1–a₁=(k-1)a₁(q-1)，

得k=1+=2+q+q²+……+q^n-2.

因q=i-2，当i=1时，q=-1，q+q²+……+q^n-2为-1或0，则k为1或2；而i≠2，否则q=0，矛盾。

当i≥3时，q为正整数，所以k为正整数，从而b_n=a_k。

故数列｛b_n｝中的每一项都是数列｛a_n｝中的项。

（3）取q=，b₂=b₁q，b₄=b₁q³.

b₁+b₄=b₁(1+q³)=b₁[1+()³]=b₁(-1)=2b₂.

所以b₁，b₂，b₄成等差数列。