Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2n（n∈N^*，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n-a_n-1=2n，由此利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n=n（n+1），得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．由此利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2n（n∈N^*，n≥2），
∴a_n-a_n-1=2n，
∴当n≥2时，a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=2+4+6+…+2n
=$\frac{n（2+2n）}{2}$
=n（n+1），
当n=1时，上式成立，
∴a_n=n（n+1）．
（2）∵a_n=n（n+1），∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和：
S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用．