Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率；
（II）当a=3时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求出函数的导函数，进一步求出函数在x=1时的导数值得答案；
（Ⅱ）把a=3代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数大于0求得原函数的增区间，导函数小于0求得原函数的减区间．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx=x²-3x+lnx，
$f′（x）=2x-3+\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=2-3+1=0．
又f（1）=1-3=-2．
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-2；
（Ⅱ）当a=3时，f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx=$\frac{3}{2}{x}^{2}-4x+lnx$．
f′（x）=3x-4+$\frac{1}{x}$=$\frac{3{x}^{2}-4x+1}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0，得0＜x$＜\frac{1}{3}$或x＞1；由f′（x）＜0，得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
∴函数f（x）的增区间为$（0，\frac{1}{3}），（1，+∞）$；减区间为$（\frac{1}{3}，1）$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．