Question

11．已知公比不为1的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂=a，且a_n+1=k（a_n+a_n+2）且对任意正整数都成立，若对任意相邻三项a_m，a_m+1，a_m+2按某顺序排列后成等差数列，则k=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 设数列{a_n}是等比数列，公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a，得到a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1，由此进行分类讨论，能求出所有k值．

解答 解：设数列{a_n}是等比数列，则它的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a，
所以a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1，
①若a_m+1为等差中项，则2a_m+1=a_m+a_m+2，
即2a^m=a^m-1+a^m+1，解得：a=1，不合题意；
②若a_m为等差中项，则2a_m=a_m+1+a_m+2，
即2a^m-1=a^m+a^m+1，化简得：a²+a-2=0，
解得a=-2（舍1）；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$，
③若a_m+2为等差中项，则2a_m+2=a_m+1+a_m，
即2a^m+1=a^m+a^m-1，化简得：2a²-a-1=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$，
综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=-$\frac{2}{5}$，
故答案为：-$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查满足条件的实数值的求法，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用，是中档题．