Question

1．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，a₂+a₇=16，S₁₀=100．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：${b_n}={a_n}•{2^{\frac{{{a_n}-1}}{2}}}$，求数列{b_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{a_2}+{a_7}=2{a_1}+7d=16\\{S_{10}}=10{a_1}+45d=100\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}2{a_1}+7d=16\\ 2{a_1}+9d=20\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1，
（Ⅱ）由（1）知，${b_n}={a_n}•{2^{\frac{{{a_n}-1}}{2}}}$=（2n-1）•2^n-1，
${T_n}=1•{2^0}+3•{2^1}+5•{2^2}+…+（2n-1）•{2^{n-1}}$，
2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴$-{T_n}=1+2•{2^1}$+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1-（2n-1）2ⁿ
=$1+2\frac{{2（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）{2^n}$
=1-4+（3-2n）2ⁿ，
∴${T_n}=3+（2n-3）•{2^n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．