Question

16．已知条件p：函数f（x）=log${\;}_{10-{a}^{2}}$x在（0，+∞）上单调递增；条件q：对于任意实数x．不等式x²-3ax+2a²-$\frac{1}{2}$+a＞0恒成立．如果“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性便有10-a²＞1，从而可得出-3＜a＜3，而由不等式${x}^{2}-3ax+2{a}^{2}-\frac{1}{2}+a＞0$恒成立，便可得到△＜0，这样可解出$2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}$，然后根据p且q为真命题，便得到p真q真，从而解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a＜3}\\{2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}}\end{array}\right.$即可得出实数a的取值范围．

解答 解：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴10-a²＞1；
∴a²＜9；
∴-3＜a＜3；
不等式${x}^{2}-3ax+2{a}^{2}-\frac{1}{2}+a＞0$恒成立；
∴$△=9{a}^{2}-4（2{a}^{2}-\frac{1}{2}+a）={a}^{2}-4a+2＜0$；
解得$2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}$；
条件p：-3＜a＜3，条件q：$2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}$；
∵p且q为真命题；
∴p，q都为真命题；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a＜3}\\{2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴$2-\sqrt{2}＜a＜3$；
∴实数a的取值范围为$（2-\sqrt{2}，3）$．

点评 考查对数函数的单调性，解一元二次不等式，一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集为R时，判别式△的取值情况，以及p且q真假和p，q真假的关系．