Question

15．已知{a_n}是递增的等差数列，其中a₂，a₃是方程x²-5x+6=0的根，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由方程x²-5x+6=0，解得x=2或3，由题意得a₂=2，a₃=3．可得公差d，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．因此b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）由方程x²-5x+6=0，解得x=2或3，
由题意得a₂=2，a₃=3．
设数列{a_n}的公差为d，故d=3-2=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=2+（n-2）=n，
∴a_n=n．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．